510 確率統計的アプローチ ~カシノではどの程度負ける可能性があるのか? [Feb 28,2005]

#1 自分に今どのようなことが起こっているのか?

カシノで望むべき最善の状態は大抵の人にとっては「先行逃げ切り」だろうと思う。テーブルに着いたとたん幸先良くポンポンと連勝、プラスの状態で少しは一進一退あったとしてもある時点から連勝モードに入り、ベットアップ、置き張りで勝ち進み、シューの最後には大勝負をゲットして元金が5倍、10倍といったみたいな。

でも、実際に起こることはそれとは逆のケースがほとんどである。テーブルに着いたとたん連敗、マイナスの状態で一進一退あって、ディーラー6に11ダブルで勝負して引いたのは9。ディーラーは5、Tと起こして負けたのを契機に連敗モードに突入。こんなに悪いことばかり続くはずがないと思っているうちにバイインしたチップはあとわずか。逆襲の糸口も見つからないままゲームオーバーといったみたいな。

気分は非常に落ち込むし正常な思考状態ではなくなってしまう。そんなときに、自分に今どのようなことが起っているのか、客観的に見つめてみることは少なくとも私にとってはすごく役に立つ。単に頭を冷やすだけの効果なのかもしれないが。

以下では負け続けるときに私が考えているそんな確率的な話をまとめてみる。なにぶん素人考えである上に、カシノという非日常の世界で頭に浮かんでいることなので、あまり信用しないで読んでいただければ幸いである。

 

#2 2項分布の平均と分散

ブラックジャック(BJ)やバカラで行われていることは、ルールの違いはあるが、親(バンカー)か子(プレーヤー)のどちらが勝つかという独立した試行をn回繰り返しているという点で、2項分布というという確率関数にしたがっていると考えられる。また、引き分けの場合は賭け金は戻ってくる点で、親の総取りのあるルーレットの赤黒や大小とは異なる性格を持つといえる。そのため、スタンズやタイは確率的なアプローチの上では「なかったこと」と考えることが可能となる。

2項分布X~Bin(n,p)にはn,pの2つのパラメータがある。nは試行回数で当然のことながら正の整数である。pはその事象の起る確率であり、0から1までのどこかに位置する。2項分布の平均E(X)=np、分散V(X)=np(1-p)である。

さて、単純化のためにここで勝てる確率を0.5としよう(上で述べたようにスタンズ、タイはなかったこととして考慮しない)。5回試行した場合、勝ち数の平均は5×0.5=2.5となり、分散は5×0.5×0.5=1.25となる。分散の平方根が標準偏差であり、この場合は約1.12ということになる。

5連敗も5連勝も、平均2.5からは標準偏差の2倍と少し離れているだけで、確率的に考えにくい数字ではない(偏差値でいうと28と72)。標準偏差の2倍の範囲外に起こるケースは5%もあるからである。

しかし、標準偏差の3倍の範囲内には99%以上が入ることから、この範囲の外の事象というのは、確率的には非常に考えにくい数字ということになる。

例えば1シュー60回の勝負として、平均は30、従って30勝30敗のプラマイ0が最もありえる状況。分散は15だから標準偏差は約3.9。仮に標準偏差の3倍以内(偏差値でいうと20から80)を想定される範囲とみると、19勝41敗のマイナス22から、41勝19敗のプラス22までがこの範囲に入ることになる。

同額ベットを辛抱強く守れる人であれば、ベット額の22倍をバイインすれば、少なくとも1シューは持ちこたえられることが推定されるのである。

 

#3 勝率を現実に即して考える

正規分布表によると、平均±標準偏差の範囲内に分布の68%が、平均±標準偏差×2の範囲内に95%が、平均±標準偏差×3の範囲内に99.7%が含まれる。(2項分布と正規分布はもちろん別の分布だが、試行回数nが大きくなればほぼ同じ形になる。)

つまり、標準偏差×3以上の負け(偏差値でいうと20以下)や、勝ち(偏差値でいうと80以上)はそれぞれ1000回に1回程度の確率でしか起こらない。毎日カシノに行く人でも平均して3年に1度しかないということになる(反面、その程度のことは起こるかもしれない、と言えなくもない)。

さて、先ほど勝つ確率を0.5と仮置きしたが、これは現実と照らした場合どうなのだろうか。バカラの場合はバンカーに張ろうがプレイヤーに張ろうが自由だから、マカオのようにタイで引けない、というケースを除いて勝つ確率はフィフティ・フィフティである。ただし、バンカー勝ちの場合は5%のコミッションを取られるので、これを計算に入れるとほぼ0.485という数字が出る。

また、BJの場合周知のように先にプレイヤーがバストすると親の勝ちになるため、BSどおりプレイしたとしても若干ディーラーが有利である。他にもハウスルールでいろいろなしばりがあるので、0.485の勝率というのはほぼいい線であろうと思われる。

ここで平均と分散をやはり1シュー60プレイと仮定して算出してみる。

平均=60×0.485=29.1  29.1勝30.9敗、1.8マイナス
分散=60×0.485×0.515=14.987

以上のように、平均は勝率の低下によりマイナス方向にずれるが、分散はほとんど変化しない。p(1-p)が最大になるのはp=0.5の場合で、それ以外ではむしろ小さくなる(分布のバラツキが少なくなる)からであるが、標準偏差となるとさらにその平方根であり、せいぜい小数点以下第2位の違いしかないので、分散については勝率の低下はほとんど関係がない、ということができる。

 

#4 簡易的な係数算出方法

さて、毎度毎度npやらnp(1-p)を計算するのも面倒だし、勝ち数をプラスマイナスに変換するのも大変なので、ここで簡便な平均と分散の算出のしかたをご紹介しよう。

1回の試行ごとに、勝ちに対して+1を、負けに対して-1をカウントする。n回の試行に対しては、-nからnまでの分布となるが、この場合、平均が0、分散がnとなる(勝率0.5の場合)。[詳しい説明は省くが、2項分布が横に2倍広がる形となることから、分散は(n×0.5×0.5)×2^2=nとなる。]前段で、勝率が変わっても分散はほとんど変わらないことを説明したので、ハウスアドバンテージを想定する場合、平均が-n×(ハウスアドバンテージ)、分散は同様にnとみることが可能である。

1シュー60手なら、分散は60、標準偏差は約7.5(49と64の間なので)。勝率を0.485とすれば1手0.015に60を掛けるとほぼ1。つまり平均は-1、標準偏差×2の範囲は-16から+14の間、標準偏差×3では-23.5から+21.5までの間とすぐに計算できる。

2シュー120手なら、分散は120、標準偏差は大体11。同様に勝率0.485を前提として、平均が-1.5、標準偏差×2の範囲は-22.5から+20.5、標準偏差×3では-33.5から+31.5の間ということになる。

大負けしているとき、自分のおかれている状況を判断する指標として以上の数字を使うことができる。最初のシューで同額ベットにもかかわらず-18などという状況になったとすれば、それは下位2.5%に入るツキのなさであるが、「仮に同じくらいツキがないとしても」次のシューではせいぜい-4ないし-5であり、同じ水準で負け続けて-36になったとすれば、それは下位0.1%未満のきわめて珍しい事象となり、「それだけツキがないのも記録的だ」という客観的な判断が可能となるのである。

[Feb 28,2005]